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Oft sind Terme so unübersichtlich dargestellt, dass es zu umständlich und zu schwierig ist, mit ihnen zu arbeiten. Die Faustregel heißt hier, erst lesbar machen und dann (wenn es eine Gleichung ist) lösen. Beim Vereinfachen von Termen mit einer oder mehreren Variablen geht es also um das Ordnen innerhalb eines Terms durch Zusammenrechnen bzw. Ausrechnen und Sortieren einzelner Elemente eines Terms.

Für das Vereinfachen oder Zusammenfassen von Termen ist es entscheidend, notwendige Begriffserläuterungen, Rechengesetze und Merkregeln zu kennen.

Das kontinuierliche Anwenden der Faustregel: „Erst lesbar machen und dann lösen“, also das Vereinfachen unübersichtlicher Terme, ist eine wesentliche Grundlage in der Mathematik, um komplexe Gleichungen schnell und richtig lösen zu können.

Um die verschiedenen Methoden und Schritte besser verstehen zu können, werden anfangs verschiedene mathematische Begriffe und Rechengesetze erläutert.

Mathematische Begriffe und Rechengesetze

1. Was ist eine Gleichung?

Zwei Terme, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander mathematisch verknüpft sind (also wertgleich sind), heißen Gleichung. Die Terme werden dabei als rechte bzw. linke Seite einer Gleichung bezeichnet.

2. Was ist ein Term?

Terme sind Rechenausdrücke, welche unter anderem aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und weiteren mathematischen Operatoren bestehen. Eine Gleichung ist kein Term, sondern eine Aussage darüber, dass zwei Terme wertgleich sind. Ein Term enthält also kein Gleichheitszeichen!

Ein Termglied (ein Teil eines Term) besteht immer aus:

• Vorzeichen   + oder –   (Vorzeichen „+“ wird in der Regel nicht mitgeschrieben)
• Vorfaktor   Zahl   (Vorfaktor „1“ wird in der in der Regel nicht mitgeschrieben)
• Variable   x   (ist keine Variable zu sehen, hat sie die Potenz 0)
• Potenzen   ⁿ   (Potenz 1 wird in der Regel nicht mitgeschrieben)

und kann um weitere mathematische Operatoren ergänzt werden. Zur besseren Übersichtlichkeit, besonders bei negativem Vorzeichen, können Termglieder in Klammern gesetzt werden. Diese Klammern sind dann keine mathematischen Operatoren.

+ 4 • x² = 4 x²
-1x⁰ = -1•1 = -1
– 3 • x² = (-3 x²)

3. Was ist eine Zahl (Vorfaktoren oder konstantes Glied)

In Termen kommen Zahlen als Vorfaktoren oder konstante Glieder vor. Vorfaktoren sind Zahlen, die durch ein Malzeichen mit einer Variablen verbunden sind. Konstante Glieder sind Zahlen, die innerhalb eines Terms „alleine“ stehen, also nicht mit einer Variablen „verbunden“ sind bzw. die als Vorfaktor einer Variablen mit der Potenz „0“ stehen. (Bsp. – 3 • x⁰ =  – 3 • 1 = 3 à Regel: Alles hoch 0 ist 1.)

4. Was ist eine Variable?

Grundsätzlich ist die Variable ein Platzhalter für veränderliche Zahlenwerte. Das bedeutet, dass die Variable für jede beliebige Zahl stehen kann, die wir für die Variable einsetzen können. Dafür werden normalerweise Buchstaben wie a, b, c, x, y benutzt. Prinzipiell können aber auch ganze Wörter als Variable verwendet werden.

5. Was sind Rechenzeichen und Operatoren (vereinfacht)?

Ein Operator ist eine mathematische Vorschrift, durch die man aus mathematischen Objekten (in diesem Fall Termglieder) neue Objekte bilden kann.

Sie geben daher an, wie zum Beispiel Termglieder mathematisch verknüpft (3a + 3a = 6a) oder Aussagen (Werte) von Termgliedern in sich verändert (√9 + √a² = 3 + a) werden sollen.

Anwendung finden Operatoren bei allen mathematischen Rechenoperationen. Sie unterlegen festen mathematischen Bildungsvorschriften (z.B. Wurzel, Potenzen) und weiteren Rechengesetzen (z.B. Vorrangregeln).

Operatoren werden beispielsweise als Rechenzeichen + (Plus), – (Minus), • (Mal), ÷ (Geteilt durch), () [] (Klammer) oder durch andere mathematische Symbole √ (Wurzel), ⁿ(Potenz) dargestellt werden.

6. Was sind mathematische Vorrangregeln?

Vorrangregeln geben an, in welcher Reihenfolge verschiedene Operatoren innerhalb einer Aufgabe gerechnet werden sollen.

• Punktrechnung vor Strichrechnung:

Als erstes multiplizieren oder dividieren und danach addieren oder subtrahieren!

2 + 4 • 2 = 2 + 8 = 10
10 ÷ 2 – 1 = 5 – 1 = 4

• Klammer- vor Punktrechnung:

Als erstes die Klammer (also das, was in der Klammer steht) ausrechnen, danach multiplizieren beziehungsweise dividieren und zum Schluss addieren beziehungsweise subtrahieren. Innerhalb der Klammer gilt Punktrechnung vor Strichrechnung.

(2 + 4) • 2 = 6 • 2 = 12
10 ÷ (4 – 2) = 10 ÷ 2 = 5

• Potenzrechnung/ Wurzelrechnung vor Punktrechnung:

Potenzen und Wurzeln werden immer zuerst ausgerechnet.

4² • 2 = 16 • 2 = 32
√64 ÷ 4 = 8 ÷ 4 = 2

• Für die Vorrangregeln gibt es auch Eselsbrücken. Hier ein Beispiel:

KlaPoPuS (Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich)

Die Klammer sagt „Zuerst komm ich!“
Rechne sonst: „Potenz, vor Punkt, vor Strich“
Und was noch nicht zu Rechnen dran,
das schreibe unverändert an.

2. Vereinfachen (Zusammenfassen) von Termen

• Regeln für das Addieren und Subtrahieren

Beim Addieren und Subtrahieren werden Vorfaktoren mit gleichen Variablen (und gleicher Potenzzahl/ Hochzahl) zusammengefasst, in dem man die Vorfaktoren addiert/subtrahiert und die Variable beibehält.

2x + 3x = 5x
7x² – 4x² = 3x²
7x² + 2x – 4x² + 3x = 3x² + 5x

Hinweis 1:

Variablen ohne „sichtbaren Vorfaktor“ haben den Vorfaktor „1“. Variablen mit nur einem „-“ davor, haben den Vorfaktor „-1“.

2x + x = 3x
-x + 3x = 2x

Hinweis 2:

Ist das Ergebnis des Zusammenrechnens der Vorfaktoren gleich „0“, so „fällt das Termglied aus dem Term heraus“.

2x – 2x + 2y + 2y
0x +4y
4y

Hinweis 3:

Nie zusammenfasst werden dürfen:

1. Variablen mit unterschiedlichen Potenzzahlen/ Hochzahlen
2. Unterschiedliche Variablen

x³ + x² + x bleibt x³ + x² + x
8x + 2y bleibt 8x + 2y

Als keine Hilfe oder Eselsbrücke kann man sich folgende Geschichte vorstellen (x = Schweine und y = Hunde):

Auf einer grünen Wiese befinden sich 8 Schweine und 2 Hunde, wenn ich sie zusammenzähle bekomme ich 10 Schweinehunde. Nein! Es sind nach wie vor 8 Schweine und 2 Hunde.

• Regeln für das Multiplizieren und Dividieren

Beim Multiplizieren und Dividieren werden Vorfaktoren miteinander multipliert/dividiert und die Potenzzahlen/Hochzahlen mit einander addiert/subtrahiert 

4x² • 2x = 4 • 2 • x⁽²⁺¹⁾ = 8x³
4x² ÷ 2x = 4 ÷ 2 • x^(2-1) = 2x¹ = 2x
4x² • 2x • 2y = 4 • 2 • 2 • x⁽²⁺¹⁾ • y  = 16x³y
4x²y⁴ ÷ 2xy² = 4 ÷ 2 • x^(2-1) • y^{(4-2 )}  = 2x¹y² = 2xy²

Hinweis 1:

Variablen ohne „sichtbare Hoch- /Potenzzahl“ haben die Potenz „1“.

x = x¹

Hinweis 2:

Aus den Vorzeichen zweier Vorfaktoren bildet sich das neue Rechenzeichen „Plus“ oder „Minus“.

4 + 4x² • (-2x) = 4 + 4 • (-2) • x⁽²⁺¹⁾  = 4 + (-8) x³ = 4  – 8x³

• Plus • Plus = Plus
• Minus • Minus = Plus
• Plus • Minus = Plus
• Minus • Plus = Plus

Bei längeren Multiplikations-/ Divisionsaufgaben kann man anhand der Anzahl der negativen Vorzeichen erkennen, ob das Ergebnis ein positives oder negatives Vorzeichen hat. Bei gerader Anzahl negativer Vorzeichen ist das Vorzeichen des Ergebnisses Plus“, bei ungerader Anzahl negativer Vorzeichen ist das Vorzeichen des Ergebnisses „Minus“.

• Plus • Plus • Minus • Minus = Plus (2 x Minus)
• Plus • Minus • Minus • Minus = Minus (3 x Minus)

• Regeln für das Ausklammern/die Klammermultiplikation

Beim Ausklammern wird das Termglied vor der Klammer mit jedem Termglied innerhalb der Klammer multipliziert.

Bei der Multiplikation von Klammern ist jedes Termglied der einen Klammer mit jedem Termglied der anderen Klammer zu multiplizieren.

2x – 4x(3x + 4y)
2x – 4x • 3x – 4x • 4y
2x – 12x² – 16xy

(2x – 4x) (3x + 4y)
2x • 3x + 2x • 4y – 4x • 3x – 4x • 4y
6x² + 8xy – 12x² – 16xy
6x²– 12x² + 8xy – 16xy
-6x² – 8xy

Hinweis 1:

Das Vorzeichen jedes Termgliedes ist bei der Multiplikation zu berücksichtigen.

-4x(3x + 4y)
Rechenweg: (-4x) • (+3x) + (-4x) • (+4y)
-12x² – 16xy

-4x(-3x + 4y)
Rechenweg: (-4x) • (-3)x + (-4x) • (+4y)
12x² – 16xy

Hinweis 1:

Das durch Multiplikation oder Division entstehende „neue“ Vorzeichen bildet den neuen mathematischen Operator „+“ oder „–“.

4x + 4y(-y)
4x + (-4y²)
4x – 4y²

Hinweis 2:

Steht vor der Klammer nur ein „Plus“ oder kein Vorzeichen, heißt das Termglied vor der Klammer „+1“ und die Klammer weggelassen werden.

+(-3x + 4y) = -3x + 4y

Steht vor der Klammer nur ein „Minus“, heißt das Termglied vor Klammer „-1“ und in der Klammer „drehen“ sich alle Vorzeichen.

-(-3x + 4y) = +3x – 4y = 3x – 4y

• Regeln für das Einklammern

Beim Einklammern wird der Term auf gleiche Variablen und gleiche Teiler der Vorfaktoren und konstante Glieder untersucht und anschließend durch den größten Teiler“ (ggT) dividiert. Der ggT wird dann als Termglied vor die Klammer gestellt.

3x – 27xy + 21xz             I ggT = 3x
3x(1 – 9x + 7z)
3x(-9x + 7z + 1)

3x – 27xy + 21xz + 12     I ggT = 3x (außer bei 12)
3x(1 – 9x + 7z) + 12
3x(-9x + 7z + 1) + 12

Hinweis 1:

Beim Auflösen von Gleichungen nach einer Variable ist es oft nicht vorteilhaft, einen ggT wieder auszuklammern. Hier sollte genau auf die Aufgabenstellung geachtet werden.

Hinweis 2:

Ob man richtig eingeklammert hat, lässt sich schnell durch eine Gegenrechnung prüfen. Einfach ausklammern und der ursprüngliche Term muss wieder vorhanden sein.

• Regeln für das gemischte Rechnen

Beim gemischten Rechnen sind neben den Regeln für das Multiplizieren und Dividieren und den Regeln für Addieren und Subtrahieren vor allem die Vorrangregeln zu beachten. Da bereits alle Regeln hierzu im Vorfeld besprochen wurden, werden die Regeln für das gemischte Rechnen in Form einer komplexeren Aufgabe dargestellt.

-2x² + 4 + 4xy(4x – 2) – 3x(-4x + 2y + 4y + 2x)

1. Schritt: Prüfen und Zusammenfassen von Termgliedern innerhalb der Klammer

Teilschritt: (-4x + 2y + 4y  +2x) = (-2x + 6y)

„Neuer“ Term: -2x² + 4 + 4xy(4x – 2) – 3x(-2x + 6y)

2. Schritt: Ausklammern

Teilschritt 1: + 4xy(4x – 2) = + 16x²y – 8xy

Teilschritt 2: -3x(-2x + 6y) = + 6x² – 18xy

„Neuer“ Term: -2x² + 4 + 16x²y – 8xy + 6x²  – 18xy

3. Schritt: Sortieren und Zusammenfassen

-2x² + 6x² – 6y² + 16x²y – 8xy – 18xy + 4
4x² – 6y² + 16x²y – 26xy + 4

1. Einklammern

2(2x² – 3y² + 8x²y – 13xy + 2)

FAZIT:

Auch wenn es am Anfang kompliziert erscheint, das Vereinfachen von Termen mit einer oder mehreren Variablen kann bei Befolgen der Reihenfolge und Regeln sowie regelmäßigem Übungen nicht nur erlernt, sondern auch beherrscht werden.

Gerade in den höheren Klassenstufen weiterführender Schulen ist das Wissen und Können um diese mathematische Grundlagen eine wesentliche Voraussetzung, um in anderen mathemischen Gebieten bestehen zu können.